Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）定義在R⁺上，對(duì)任意的m，n∈R⁺，恒有f（m•n）=f（m）+f（n），且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0．試解決以下問(wèn)題：
（1）求f（1）的值，并判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）若0＜a＜b，滿足|f（a）|=|f（b）|=2|f（$\frac{a+b}{2}$）|，求證：3＜b＜2+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）令m=n=1，求得f（1）=0，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)的定義證明即可；
（2）由函數(shù)的單調(diào)性，以及|f（a）|=|f（b）|，得到a＜1，b＞1，ab=1，再根據(jù)基本不等式得到f（$\frac{a+b}{2}$）＜f（1）=0，由|f（b）|=2|f（$\frac{a+b}{2}$）|，得到4b=（a+b）²=a²+b²+2，由a的范圍，即可求出b的范圍．

解答 解：（1）令m=n=1，則f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
設(shè)x₁＞x₂＞0，則$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，從而f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＜0，
∴f（x₁）=f（x₂•$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=f（x₂）+f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＜f（x₂），
所以，函數(shù)f（x）在R⁺上單調(diào)遞減．
（2）由（1）函數(shù)f（x）在R⁺上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0，
∵0＜a＜b，滿足|f（a）|=|f（b）|，
∴a＜1，b＞1，
故f（a）＞0，f（b）＜0，
由|f（a）|=|f（b）|得f（a）+f（b）=0，
所以ab=1，
又$\frac{a+b}{2}$＞$\sqrt{ab}$=1，
所以f（$\frac{a+b}{2}$）＜f（1）=0，
又f（b）=2f（$\frac{a+b}{2}$）=f（（$\frac{a+b}{2}$）²），
由|f（b）|=2|f（$\frac{a+b}{2}$）|得，4b=（a+b）²=a²+b²+2
∴4b-b²=a²+2，
又0＜a＜1，所以2＜a²+2＜3，
由2＜4b-b²＜3及b＞1，
解得，$3＜b＜2+\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)求函數(shù)值、單調(diào)性的判定、及單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化、分離參數(shù)的思想方法．牢牢把握所給的關(guān)系式，對(duì)式子中的字母準(zhǔn)確靈活的賦值，變形構(gòu)造是解決抽象函數(shù)問(wèn)題常用的思路，屬于難題．