Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和s_n，滿足s_n=n（n-6），數(shù)列{b_n}滿足${b_2}=3，{b_{n+1}}=3{b_n}（n∈{N^*}）$
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記數(shù)列{c_n}滿足${c_n}=\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}，n為奇數(shù)}\\{{b_n}，n為偶數(shù)}\end{array}}\right.$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)n≥2時，利用a_n=S_n-S_n-1計(jì)算，進(jìn)而可知a_n=2n-7；通過b_n+1=3b_n可知數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，利用b_n=b₂•3^n-2計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）可知c_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-7，}&{n為奇數(shù)}\\{{3}^{n-1}，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，進(jìn)而分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=-5，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-7，
又∵當(dāng)n=1時滿足上式，
∴a_n=2n-7；
∵b_n+1=3b_n，b₂=3，
∴數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
故其通項(xiàng)公式b_n=b₂•3^n-2=3^n-1；
（Ⅱ）由（I）可知c_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-7，}&{n為奇數(shù)}\\{{3}^{n-1}，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
當(dāng)n為偶數(shù)是，T_n=$\frac{\frac{n}{2}（-5+2n-9）}{2}$+$\frac{3（1-{9}^{\frac{n}{2}}）}{1-9}$
=$\frac{n（n-7）}{2}$+$\frac{3（{3}^{n}-1）}{8}$；
當(dāng)n為奇數(shù)時，T_n=$\frac{\frac{n+1}{2}（-5+2n-7）}{2}$+$\frac{3（1-{9}^{\frac{n-1}{2}}）}{1-9}$
=$\frac{（n+1）（n-6）}{2}$+$\frac{3（{3}^{n-1}-1）}{8}$；
綜上所述，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（n+1）（n-6）}{2}+\frac{3（{3}^{n-1}-1）}{8}，}&{n為奇數(shù)}\\{\frac{n（n-7）}{2}+\frac{3（{3}^{n}-1）}{8}，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．