Question

【題目】在平面直角坐標系中，點，分別為橢圓C：的左右焦點，橢圓的離心率為，點在橢圓C上，不在軸上的動點P與動點Q關于原點O對稱，且四邊形的周長為.

（1）求動點P的軌跡方程；

（2）在動點P的軌跡上有兩個不同的點M，N，線段MN的中點為G，已知點在圓上，求的最大值，并判斷此時ΔOMN的形狀.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為，ΔOMN是直角三角形

【解析】

（1）題中先求得的坐標，即，可利用離心率和點在橢圓上　結合解得，動點P與動點Q關于原點O對稱，且四邊形的周長為.可得點軌跡是橢圓，且長軸長已知，焦距已知，只要再求得短半軸長即得，注意方程中；

（2）由用點都在橢圓上可求得，用兩點間距離公式表示出，代入和，并利用基本不等式可求得最大值．根據取得最大值時的條件得是直角三角形．

（1）設點，的坐標分別為，

由已知可知，又，所以可得，則，

連接PQ，因為，OP=OQ，所以四邊形為平行四邊形.

因為四邊形的周長為，所以，

所以動點P的軌跡是以點，分別為左、右焦點，長軸長為的橢圓（除去左、右頂點），可得動點P的軌跡方程為

（2）因為，，，所以，

所以

.

當且僅當，即時，等號成立，

所以的最大值為，此時，即，即是直角三角形．