Question

15．命題p：函數(shù)y=x+$\frac{2}{x}$在[1，4]上的值域?yàn)閇3，$\frac{9}{2}$]，命題q：${log}_{\frac{1}{2}}$（a+1）＞${log}_{\frac{1}{2}}$a（a＞0），下列命題中，真命題的是（　　）

• A． p∧q
• B． p∨q
• C． p∧（￢q）
• D． p∨（￢q）

Answer 1

分析 對(duì)于命題p，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出；對(duì)于命題q：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出真假．

解答 解：命題p：函數(shù)f（x）=x+$\frac{2}{x}$，f′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+\sqrt{2}）（x-\sqrt{2}）}{{x}^{2}}$，當(dāng)x∈$[1，\sqrt{2}）$時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈$（\sqrt{2}，4]$時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．∴當(dāng)x=$\sqrt{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，f$（\sqrt{2}）$=$2\sqrt{2}$；而f（1）=3，f（4）=4+$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$．∴函數(shù)f（x）在[1，4]上的值域?yàn)閇2$\sqrt{2}$，$\frac{9}{2}$]，因此是假命題．
命題q：∵a+1＞a，∴${log}_{\frac{1}{2}}$（a+1）＜${log}_{\frac{1}{2}}$a（a＞0），因此是假命題．
由上面可知：p是假命題，q是假命題，￢q是真命題．
∴P∨￢q是真命題，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．