Question

6．已知函數(shù)$f（x）=ln（\sqrt{{x^2}+1}-x）$，對任意m∈[-3，3]，不等式f（1-mx）+f（2x）＜0恒成立，則實數(shù)x的取值范圍為（-$\frac{1}{5}$，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)表達式判斷函數(shù)為奇函數(shù)，在判斷函數(shù)的單調(diào)性，把函數(shù)變形為$f（x）=ln（\sqrt{{x^2}+1}-x）$=-ln$（\sqrt{{x}^{2}+1}+x）$，顯然可知函數(shù)遞減，
不等式f（1-mx）+f（2x）＜0恒成立，可轉(zhuǎn)化為xm-2x-1＜0恒成立，可看成關(guān)于m的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)性質(zhì)解題即可．

解答 解：$f（x）=ln（\sqrt{{x^2}+1}-x）$，定義域為R，
∴f（-x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）=ln$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}-x}$=-f（x），
∴函數(shù)為奇函數(shù)，
∵$f（x）=ln（\sqrt{{x^2}+1}-x）$=-ln$（\sqrt{{x}^{2}+1}+x）$，
∴函數(shù)為減函數(shù)，
∵不等式f（1-mx）+f（2x）＜0恒成立，
∴2x＞mx-1恒成立，
∴xm-2x-1＜0恒成立，
∴-3x-1-2x＜0且3x-1-2x＜0，
∴-$\frac{1}{5}$＜x＜1．

點評 考查了抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性和利用一次函數(shù)性質(zhì)解決恒成立問題．