Question

13．已知f（x）=2sinxcosx-2$\sqrt{3}$cos²x+$\sqrt{3}$
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和對稱中心；
（2）求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間；
（3）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時x的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，利用三角函數(shù)的圖象與性質求得最小正周期和對稱中心．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質求得函數(shù)的單調減區(qū)間．
（3）根據(jù)x的范圍，確定2x-$\frac{π}{3}$的范圍，根據(jù)三角函數(shù)圖象的性質求得最大值．

解答 解：（1）f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}$=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
T=$\frac{2π}{2}$=π，
令2x-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$．
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{5π}{6}$≤x≤$\frac{11π}{12}$+kπ，
即函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+$\frac{5π}{6}$，$\frac{11π}{12}$+kπ]（k∈Z）．
（3）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴當2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{5π}{12}$，函數(shù)有最大值2．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)圖象與性質，三角函數(shù)恒等變換的應用．考查了學生對三角函數(shù)基礎公式的應用．