Question

7．給定正奇數(shù)n（n≥5），數(shù)列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n是1，2，…，n的一個排列，定義E（a₁，a₂，…，a_n）=|a₁-1|+|a₂-2|+…+|a_n-n|為數(shù)列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的位差和．
（Ⅰ）當n=5時，求數(shù)列{a_n}：1，3，4，2，5的位差和；
（Ⅱ）若位差和E（a₁，a₂，…，a_n）=4，求滿足條件的數(shù)列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的個數(shù)；
（Ⅲ）若位差和E（a₁，a₂，…，a_n）=$\frac{{{n^2}-1}}{2}$，求滿足條件的數(shù)列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a₁，a₃，a₄，a₂，a₅分別代入E（a₁，a₂，…，a_n）=|a₁-1|+|a₂-2|+…+|a_n-n|進行解答即可；
（Ⅱ）分兩種情況進行討論：當a_i=i+1，a_i+1=i，a_j=j+1，a_j+1=j，且{a_i，a_i+1}∩{a_j，a_j+1}=∅，其他項a_k=k（其中k∉{i，i+1，j，j+1}）時和當a_i，a_i+1，a_i+2分別等于i+2，i+1，i或i+1，i+2，i或i+2，i+1，其他項a_k=k（其中k∉{i，i+1，i+2}）；
（Ⅲ）此題實際上求位差和E（a₁，a₂，…，a_n）最大值為$\frac{{{n^2}-1}}{2}$，且給出取得最大值時，數(shù)列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的情況．

解答 解：（I）E（1，3，4，2，5）=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4；
（II）若數(shù)列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的位差和E（a₁，a₂，…，a_n）=4，有如下兩種情況：
情況一：當a_i=i+1，a_i+1=i，a_j=j+1，a_j+1=j，且{a_i，a_i+1}∩{a_j，a_j+1}=∅，其他項a_k=k（其中k∉{i，i+1，j，j+1}）時，有$（{n-3}）+（{n-4}）+…+2+1=\frac{{（{n-2}）（{n-3}）}}{2}$種可能；
情況二：當a_i，a_i+1，a_i+2分別等于i+2，i+1，i或i+1，i+2，i或i+2，i+1，其他項a_k=k（其中k∉{i，i+1，i+2}）時，有3（n-2）種可能；
綜上，滿足條件的數(shù)列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的個數(shù)為$\frac{{（{n-2}）（{n-3}）}}{2}+3（{n-2}）=\frac{{（{n-2}）（{n+3}）}}{2}$．
例如：n=5時，
情況一：形如2，1，4，3，5，共有2+1=3種：2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；1，3，2，5，4；
情況二：形如3，2，1，4，5，共有5-2=3種：3，2，1，4，5；1，4，3，2，5；1，2，5，4，3；
形如2，3，1，4，5，共有5-2=3種：2，3，1，4，5；1，3，4，2，5；1，2，4，5，3；
形如3，1，2，4，5，共有5-2=3種：3，1，2，4，5；1，4，2，3，5；1，2，5，3，4．
（III）將|a₁-1|+|a₂-2|+…+|a_n-n|去絕對值符號后，所得結(jié)果為±1±1±2±2±3±3±…±n±n
的形式，其中恰好有n個數(shù)前面為減號，這表明：
$E（{{a_1}，\;\;{a_2}，\;…，\;\;{a_n}}）=\sum_{i=1}^n{|{a_i}-i|}$$≤2（{n+（{n-1}）+…+\frac{n+3}{2}}）+\frac{n+1}{2}-\frac{n+1}{2}-2（{\frac{n-1}{2}+…+2+1}）$
=$2（{（{n-\frac{n-1}{2}}）+（{n-1-\frac{n-3}{2}}）+…+（{\frac{n+3}{2}-1}）}）\frac$，
=$\frac{{{n^2}-1}}{2}$．
此不等式成立是因為前面為減號的n個數(shù)最小為：2個1，2個2，…，2個$\frac{n-1}{2}$和1個$\frac{n+1}{2}$．
上面的討論表明，題中所求的數(shù)列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n是使得E（a₁，a₂，…，a_n）最大的數(shù)列，這樣的數(shù)列在n=2k+1時，要求從1，2，…，n中任選一個數(shù)作為
a_k+1，將剩余數(shù)中較大的k個數(shù)的排列作為a₁，a₂，…，a_k的對應值，較小的k個數(shù)的排列作為a_k+2，a_k+3，…，a_2k+1的對應值，
于是所求數(shù)列的個數(shù)為（2k+1）（k!）²．
綜上，滿足條件的數(shù)列的個數(shù)為$n{（{（{\frac{n-1}{2}}）!}）^2}$
例如：n=5時，
E（a₁，a₂，a₃，a₄，a₅）=$\sum_{i=1}^5{|{a_i}-i|}$．≤2（5+4）+3-3+2（2+1）=2[（5-2）+（4-1）]=$2•\underbrace{（{5-\frac{5-1}{2}}）}_{每組之差}•\underbrace{（{\frac{5-1}{2}}）}_{組數(shù)}$=$2（{\frac{5+1}{2}}）（{\frac{5-1}{2}}）$=$\frac{{{5^2}-1}}{2}=12$
此不等式成立是因為前面為減號的5個數(shù)最小為：2個1，2個2和1個3．
若E（a₁，a₂，a₃，a₄，a₅）=12，n=2k+1=5，此時k=2時，要求從1，2，3，4，5中任選一個數(shù)作為a₃，將剩余數(shù)中較大的2個數(shù)的排列作為a₁，a₂的對應值，
較小的2個數(shù)的排列作為a₄，a₅的對應值，于是所求數(shù)列的個數(shù)為5•（2!）²=20．
4，5，1，2，3；4，5，1，3，2；5，4，1，2，3；5，4，1，3，2；
4，5，2，1，3；4，5，2，3，1；5，4，2，1，3；5，4，2，3，1；
4，5，3，1，2；4，5，3，2，1；5，4，3，1，2；5，4，3，2，1；
3，5，4，1，2；3，5，4，2，1；5，3，4，1，2；5，3，4，2，1；
3，4，5，1，2；3，4，5，2，1；4，3，5，1，2；4，3，5，2，1．

點評 本題考查了數(shù)列的應用．假設(shè)現(xiàn)在有n種物品，已經(jīng)按照某種標準排列，并依次確定編號為1，2，…，n，鑒別師事先不知道物品的標準排列編號，而是根據(jù)自己的判斷，對這n種物品進行排列依次編號為a₁，a₂，…，a_n，其中a₁，a₂，…，a_n是1，2，…，n的一個排列，那么可以用數(shù)列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的位差和E（a₁，a₂，…，a_n）=|a₁-1|+|a₂-2|+…+|a_n-n|，來評判鑒別師的能力．
當E（a₁，a₂，…，a_n）越小，說明鑒別師能力越強；反之越大，說明鑒別師能力越弱；
當E（a₁，a₂，…，a_n）=0，說明鑒別師給出的排列編號與標準排列編號一致，判斷完全正確；
第二問，位差和E（a₁，a₂，…，a_n）=4時，給出數(shù)列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的情況；
第三問，說明位差和E（a₁，a₂，…，a_n）最大值為$\frac{{{n^2}-1}}{2}$，且給出取得最大值時，數(shù)列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n的情況．