Question

8．某學(xué)校為了解該校高三年級(jí)學(xué)生在市一練考試的數(shù)學(xué)成績(jī)情況，隨機(jī)從該校高三文科與理科各抽取50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，作出頻率分布直方圖如圖，規(guī)定考試成績(jī)[120，150]內(nèi)為優(yōu)秀．

（1）由以上頻率分布直方圖填寫下列2×2列聯(lián)表，若按是否優(yōu)秀來(lái)判斷，是否有99%的把握認(rèn)為該校的文理科數(shù)學(xué)成績(jī)有差異．

	文科	理科	總計(jì)
優(yōu)秀
非優(yōu)秀
總計(jì)	50	50	100

（2）某高校派出2名教授對(duì)該校隨機(jī)抽取的學(xué)生中一練數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?40分以上的學(xué)生進(jìn)行自主招生面試，每位教授至少面試一人，每位學(xué)生只能被一位教授面試，若甲教授面試的學(xué)生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$；

P（K2＞k）	0.10	0.025	0.010
K2	2.706	5.024	6.635

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖，確定表中數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表，計(jì)算K²，即可判斷是否有99%的把握認(rèn)為該校的文理科數(shù)學(xué)成績(jī)有差異．
（2）確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率，即可求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖知，該校的文科數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為（0.010+0.004+0.002）×10×50=8人，故非優(yōu)秀人數(shù)為50-8=42人，該校的理科數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為（0.020+0.014+0.006）×10×50=20人，故非優(yōu)秀人數(shù)為50-20=30人
2×2列聯(lián)表

	文科	理科	總計(jì)
優(yōu)秀	8	20	28
非優(yōu)秀	42	30	72
總計(jì)	50	50	100

所以K²=$\frac{100（8×30-42×20）^{2}}{50×50×28×72}$≈7.143》6.635，
所以有99%的把握認(rèn)為該校的文理科數(shù)學(xué)成績(jī)有差異．
（2）由（1）知，ξ=1，2，3．
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{14}$=$\frac{2}{7}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}}{14}$=$\frac{3}{7}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{14}$=$\frac{2}{7}$，
所以ξ的分布列為

ξ	1	2	3
P	$\frac{2}{7}$		$\frac{2}{7}$

Eξ=1×$\frac{2}{7}$+2×$\frac{3}{7}$+3×$\frac{2}{7}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)算出觀測(cè)值，理解臨界值對(duì)應(yīng)的概率的意義，屬于中檔題．