Question

9．已知二次函數(shù)f（x）=ax²-2ax+2+b在區(qū)間[2，3]上有最大值5，最小值2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若b＞1，g（x）=f（x）+mx在[2，4]上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的對稱軸x=1，故f（x）在[2，3]上單調(diào)，列出方程組解出a，b；
（2）求出g（x）的解析式，對稱軸，根據(jù)單調(diào)性得出對稱軸與區(qū)間[2，4]的關(guān)系，解出m．

解答 解：（1）f（x）的對稱軸為x=1，
①若a＞0，則f（x）在[2，3]上是增函數(shù)，∴$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=2+b=2}\\{f（3）=3a+2+b=5}\end{array}\right.$，解得a=1，b=0．
②若a＜0，則f（x）在[2，3]上是減函數(shù)，∴$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=2+b=5}\\{f（3）=3a+2+b=2}\end{array}\right.$，解得a=-1，b=3．
∴f（x）=x²-2x+2或f（x）=-x²+2x+5．
（2）∵b＞1，∴f（x）=-x²+2x+5．∴g（x）=-x²+（m+2）x+5．∴g（x）的對稱軸為x=$\frac{m+2}{2}$．
∵g（x）在[2，4]上為單調(diào)函數(shù)，∴$\frac{m+2}{2}$≤2或$\frac{m+2}{2}$≥4，解得m≤2或m≥6．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，2]∪[6，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性與對稱軸的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．