Question

設(shè)函數(shù).

（1）若函數(shù)在處有極值，求函數(shù)的最大值；

（2）①是否存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由；

②證明：不等式

Answer 1

（1）由已知得：，且函數(shù)在處有極值

∴，即      ∴

∴

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

∴函數(shù)的最大值為

（2）①由已知得：

(i)若，則時(shí)，

∴在上為減函數(shù)，

∴在上恒成立；

(ii)若，則時(shí)，

∴在上為增函數(shù)，

∴，不能使在上恒成立；

(iii)若，則時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，∴在上為增函數(shù)，

此時(shí)，

∴不能使在上恒成立；

綜上所述，的取值范圍是

②由以上得：

取得：

令，

則，.

因此.

又

故