Question

2．已知橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{33}}{7}$，且（4，0）在橢圓C上，圓M：x²+y²=65．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知A（m，n）為圓M上的任意一點，過點A作橢圓C的兩條切線l₁，l₂，試探究直線l₁，l₂的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意列關于a，b，c的方程組，求解方程組得到a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）當過點A與橢圓C相切的一條切線的斜率不存在時，切線方程為x=±4，得到直線y=±7恰好為過點A與橢圓相切的另一條切線，于是兩切線l₁，l₂互相垂直；當過點A（m，n）與橢圓C相切的切線的斜率存在時，設切線方程為y-n=k（x-m），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，得到關于x的一元二次方程，利用判別式等于0能推導出直線l₁、l₂始終相互垂直．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{33}}{7}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=7，b=4，
∴橢圓C的方程為$\frac{{y}^{2}}{49}+\frac{{x}^{2}}{16}=1$；
（2）如圖，
①當過點A與橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{49}+\frac{{x}^{2}}{16}=1$相切的一條切線的斜率不存在時，
此時切線方程為x=±4，
∵點A在圓M：x²+y²=65上，則A（±4，±7），
∴直線y=±7恰好為過點A與橢圓相切的另一條切線，于是兩切線l₁，l₂互相垂直；
②當過點A（m，n）與橢圓C相切的切線的斜率存在時，
設切線方程為y-n=k（x-m），
由$\left\{\begin{array}{l}{y-n=k（x-m）}\\{\frac{{y}^{2}}{49}+\frac{{x}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$，
得（49+16k²）x²+32k（n-mk）x+16k²m²-32kmn+16n²-49×16=0，
由于直線與橢圓相切，
∴△=1024k²（n-mk）²-4（49+16k²）（16k²m²-32kmn+16n²-49×16）=0，
整理，得（16-m²）k²+2mnk+49-n²=0，
∴${k}_{1}{k}_{2}=\frac{49-{n}^{2}}{16-{m}^{2}}$，
∵P（m，n）在圓x²+y²=65上，∴m²+n²=65，
∴16-m²=n²-49，
∴k₁k₂=-1，則兩直線互相垂直．
綜上所述，直線l₁、l₂始終相互垂直．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查兩直線的位置關系的判斷，訓練了兩直線垂直與斜率的關系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，注意函數(shù)與方程思想的合理運用，是中檔題．