Question

15．證明函數(shù)y=x³在定義域上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)增函數(shù)的定義，設任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，通過作差證明y₁＜y₂即可．

解答 證：設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則：
${y}_{1}-{y}_{2}={{x}_{1}}^{3}-{{x}_{2}}^{3}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（{{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}）$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）[（{x}_{1}+\frac{1}{2}{x}_{2}）^{2}+\frac{3}{4}{{x}_{2}}^{2}]$；
∵x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，$（{x}_{1}+\frac{1}{2}{x}_{2}）^{2}+\frac{3}{4}{{x}_{2}}^{2}＞0$；
∴y₁＜y₂；
∴函數(shù)y=x³在定義域R上是增函數(shù)．

點評 考查增函數(shù)的定義，利用增函數(shù)的定義證明函數(shù)為增函數(shù)的方法及過程，配方法的運用，也可通過導數(shù)證明該題．