Question

9．在直角三角形ABC中，∠C=$\frac{π}{2}$，AB=2，AC=1，若$\overrightarrow{AD}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$，則$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{CB}$=$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)結(jié)合圖形得出$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$$+\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{CA}$$+\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{CB}$=0，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{CB}$=2×$\sqrt{3}$×COS30°，轉(zhuǎn)化得出$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{CB}$=（$\overrightarrow{CA}$$+\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$）•$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{CB}$+$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{CB}$求解即可．

解答 解：∵直角三角形ABC中，∠C=$\frac{π}{2}$，AB=2，AC=1，
∴根據(jù)勾股定理得出BC=$\sqrt{3}$，sin∠ABC═$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，即∠ABC=30°
∵若$\overrightarrow{AD}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$$+\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{CA}$$+\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{CB}$=0，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{CB}$=2×$\sqrt{3}$×COS30°=3
∴$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{CB}$=（$\overrightarrow{CA}$$+\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$）•$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{CB}$+$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{CB}$=$0+\frac{3}{2}$×3=$\frac{9}{2}$



故答案為：$\frac{9}{2}$

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的幾何運(yùn)算，數(shù)量積，結(jié)合結(jié)合圖形分解向量，屬于中檔題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為容易計(jì)算的向量．