Question

如圖：兩點(diǎn)分別在射線(xiàn)上移動(dòng)，

且,為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程;

（2）設(shè)，過(guò)作（1）中曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別

為，①求證:直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn);

②若,求的值。

 

Answer 1

（1） ；（2）②.

【解析】

試題分析：（1） 設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由

另由

于是由此可消去上參數(shù)方程中的參數(shù)而得點(diǎn)的軌跡方程.

（2）①設(shè)，先用導(dǎo)數(shù)求出雙曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)，利用兩切線(xiàn)均過(guò)點(diǎn)得到直線(xiàn)的方程并進(jìn)一步證明其過(guò)定點(diǎn).

②由①可知，設(shè)直線(xiàn)的方程為，易知且，

所以可利用方程組消去得，再結(jié)合韋達(dá)定理解決.

【解析】
（1）由已知得，，即

設(shè)坐標(biāo)為，由得：

∴，消去可得，

∴軌跡的方程為： 4分

（2）①由（1）知，即

設(shè)，則，

∴，即，

∵在直線(xiàn)上，∴ ⑴同理可得， ⑵

由⑴⑵可知， ∴直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn) 9分

②由①可知，設(shè)直線(xiàn)的方程為，易知且，將直線(xiàn)的方程代入曲線(xiàn)C的方程得：

∴

又

即 ∴ 13分

考點(diǎn)：1、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法；2、平面向量的數(shù)量積；3、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題.