Question

13．若${（a{x^2}+\frac{x}）^6}$的展開式中x³的系數(shù)為20，則a²+b²的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出x³的系數(shù)，得出ab的值，再利用基本不等式求出a²+b²的最小值．

解答 解：∵${（{ax}^{2}+\frac{x}）}^{6}$的展開式中x³的系數(shù)為20，
且T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（ax²）^6-r•${（\frac{x}）}^{r}$=a^6-r•b^r•${C}_{6}^{r}$•x^12-3r，
令12-3r=3，
解得r=3；
∴a³•b³•${C}_{6}^{3}$=20；
∴ab=1，
∴a²+b²≥2ab=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取“=”；
∴a²+b²的最小值為2．
故選：B．

點評 本題考查了二項式定理的應(yīng)用問題，也考查了基本不等式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．