Question

1．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足|$\overrightarrow a$|=3，|$\overrightarrow b$|=2$\sqrt{3}$，（i）若|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=3$\sqrt{3}$，則向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$夾角余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
（ii）若$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$，則$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$方向上的投影為-3．

Answer 1

分析 （i）根據(jù)平面向量的數(shù)量積，對(duì)|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=3$\sqrt{3}$兩邊平方，求出cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞的值即可；
（ii）根據(jù)$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$方向上的投影為|$\overrightarrow$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞，進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（i）∵|$\overrightarrow a$|=3，|$\overrightarrow b$|=2$\sqrt{3}$，且|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=3$\sqrt{3}$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=3²+2×3×2$\sqrt{3}$cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞+${（2\sqrt{3}）}^{2}$
=21+12$\sqrt{3}$cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=${（3\sqrt{3}）}^{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
即向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
（ii）∵$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$，
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
即3²+3×2$\sqrt{3}$cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=0，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$方向上的投影為
|$\overrightarrow$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=2$\sqrt{3}$×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-3．
故答案為：（1）$\frac{\sqrt{3}}{6}$，（ii）-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積以及向量投影的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題目．