Question

已知橢圓：（）過點（2,0），且橢圓C的離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若動點在直線上，過作直線交橢圓于兩點，且為線段中點，再過作直線．求直線是否恒過定點，若果是則求出該定點的坐標，不是請說明理由。

Answer 1

（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）利用點在橢圓上與離心率求其系數，得到橢圓的標準方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，整理成關于的一元二次方程，利用中點坐標公式或兩直線垂直得到直線的方程，化成點斜式，進而得到定點．

試題解析：

因為點在橢圓上，所以，所以；

因為橢圓的離心率為，所以，即，

解得， 所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）設，，

①當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，，

由得，

所以，因為為中點，所以，

即．

所以，

因為直線，所以，

所以直線的方程為，即 ，

顯然直線恒過定點．

②當直線的斜率不存在時，直線的方程為，

此時直線為軸，也過點．

綜上所述直線恒過定點．

考點：1．橢圓的坐標方程；2．直線與橢圓的位置關系；3．直線過定點問題．

考點分析： 考點1：橢圓的標準方程 考點2：橢圓的幾何性質 試題屬性

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