Question

1．在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2sinα+2\end{array}\right.$，參數(shù)α∈[0，2π]．已知極坐標(biāo)的極點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處，極軸與x軸的正半軸重合，且長(zhǎng)度單位相同．直線l的極坐標(biāo)方程為：$ρsin（θ-\frac{π}{3}）=5$．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求曲線C上任一點(diǎn)到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的平方關(guān)系式，消去參數(shù)，即可得到直角坐標(biāo)方程．
（2）求出直線的直角坐標(biāo)方程，通過(guò)直線與圓的位置關(guān)系，圓心到直線的距離求解最值即可．

解答 解：（1）因?yàn)榍�線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2sinα+2\end{array}\right.$，參數(shù)α∈[0，2π]，
所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+（y-2）²=4…（3分）
（2）∵$ρsin（θ-\frac{π}{3}）=5$
∴$\frac{1}{2}ρsinθ-\frac{{\sqrt{3}}}{2}ρcosθ=5$，即$ρsinθ-\sqrt{3}ρcosθ=10$
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}x-y+10=0$…（6分）
由（1）知曲線C的方程為x²+（y-2）²=4，是（0，2）為圓心，半徑為2的圓．
圓心到直線的距離$d=\frac{|-2+10|}{{\sqrt{{{（\sqrt{3}）}^2}+{1^2}}}}=4$，
圓與直線l相離，…（9分）
所以圓C上任一點(diǎn)到直線l的距離的最大值為4+2=6…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的參數(shù)方程，直線的極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．