Question

15．若關于x的方程x³-x²-x+a=0（a∈R）有三個實根x₁，x₂，x₃，且滿足x₁≤x₂≤x₃，則a的最小值為-$\frac{5}{27}$．

Answer 1

分析 由x³-x²-x+a=0得-a=x³-x²-x，構造函數(shù)f（x）=x³-x²-x，利用導數(shù)求出函數(shù)f（x）的極值，即可得到結論．

解答 解：由x³-x²-x+a=0得-a=x³-x²-x，
設f（x）=x³-x²-x，
則函數(shù)的導數(shù)f′（x）=3x²-2x-1，
由f′（x）＞0得x＞1或x＜-$\frac{1}{2}$，
此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得-$\frac{1}{3}$＜x＜1，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即函數(shù)在x=1時，取得極小值f（1）=1-1-1=-1，
在x=-$\frac{1}{3}$時，函數(shù)取得極大值
f（-$\frac{1}{3}$）=（-$\frac{1}{3}$）³-（-$\frac{1}{3}$）²-（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{5}{27}$，
要使方程x³-x²-x+a=0（a∈R）有三個實根x₁，x₂，x₃，且滿足x₁≤x₂≤x₃，
則-1≤-a≤$\frac{5}{27}$，
即-$\frac{5}{27}$≤a≤1，
即有a的最小值為-$\frac{5}{27}$．
故答案為：-$\frac{5}{27}$．

點評 學會用導數(shù)及單調(diào)性處理根的存在與個數(shù)問題，極值的正負是解決此問題的關鍵．是中檔題．