Question

數(shù)列的前項和為，且滿足，（為常數(shù)，）.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若數(shù)列是等比數(shù)列，求實數(shù)的值.

（Ⅲ）是否存在實數(shù)，使得數(shù)列滿足：可以從中取出無限多項并按原來的先后次序排成一個等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）因為 ，，

        所以 ，.

        因為 ，

        所以 ，即.         

所以 .

所以 數(shù)列是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列.

所以 .                  

（Ⅱ）若數(shù)列是等比數(shù)列，則.

     由（Ⅰ）可得：.                    

     解得：.

     當時，由得：.

    顯然，數(shù)列是以1為首項，1為公比的等比數(shù)列.

    所以 .                                              

（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）知：.

    所以 ，即數(shù)列就是一個無窮等差數(shù)列.

    所以 當時，可以得到滿足題意的等差數(shù)列.

    當時，因為 ，，即，

    所以 數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列.

    所以 .

下面用反證法證明：當時，數(shù)列中不能取出無限多項并按原來次序排列而成等差數(shù)列.

假設存在，從數(shù)列中可以取得滿足題意的無窮等差數(shù)列，不妨記為. 設數(shù)列的公差為.

①當時，.

所以 數(shù)列是各項均為正數(shù)的遞減數(shù)列.

所以 .

因為 ，

所以 當時，，這與矛盾.

②當時，令，解得：.

所以 當時，恒成立.

所以 數(shù)列必然是各項均為負數(shù)的遞增數(shù)列.

所以 .

因為 ，

所以 當時，，這與矛盾.

綜上所述，是唯一滿足條件的的值.