Question

1．已知實(shí)數(shù)a，b滿足a，b＞0，n為偶數(shù)，求證：$\frac{^{n-1}}{{a}^{n}}$+$\frac{{a}^{n-1}}{^{n}}$≥$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$．

Answer 1

分析 由實(shí)數(shù)a，b滿足a，b＞0，作差可得$\frac{^{n-1}}{{a}^{n}}$+$\frac{{a}^{n-1}}{^{n}}$-（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$），再由通分，因式分解，即可得到證明．

解答 證明：由實(shí)數(shù)a，b滿足a，b＞0，
$\frac{^{n-1}}{{a}^{n}}$+$\frac{{a}^{n-1}}{^{n}}$-（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）
=$\frac{^{n}}{{a}^{n}}$•$\frac{1}$-$\frac{1}$+$\frac{{a}^{n}}{^{n}}$•$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$
=$\frac{^{n}-{a}^{n}}{b{a}^{n}}$+$\frac{{a}^{n}-^{n}}{a^{n}}$
=（aⁿ-bⁿ）（$\frac{1}{a^{n}}$-$\frac{1}{b{a}^{n}}$）
=（aⁿ-bⁿ）•$\frac{{a}^{n-1}-^{n-1}}{{a}^{n}^{n}}$≥0，
（當(dāng)且僅當(dāng)a=b取得等號(hào)），
即有$\frac{^{n-1}}{{a}^{n}}$+$\frac{{a}^{n-1}}{^{n}}$≥$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用作差法，考查因式分解的運(yùn)用，屬于中檔題．