Question

16．設偶函數(shù)f（x）滿足：f（1）=2，且當時xy≠0時，$f（\sqrt{{x^2}+{y^2}}）=\frac{f（x）f（y）}{f（x）+f（y）}$，則f（-5）=$\frac{2}{25}$．

Answer 1

分析 通過計算，確定f（n）=$\frac{2}{{n}^{2}}$，即可得出結論．

解答 解：令x=y=1，可得f（$\sqrt{2}$）=$\frac{f（1）f（1）}{f（1）+f（1）}$=1，∴f（$\sqrt{3}$）=$\frac{f（1）f（\sqrt{2}）}{f（1）+f（\sqrt{2}）}$=$\frac{2×1}{2+1}$=$\frac{2}{3}$
f（2）=$\frac{f（\sqrt{2}）f（\sqrt{2}）}{f（\sqrt{2}）+f（\sqrt{2}）}$=$\frac{1}{2}$，f（$\sqrt{5}$）=$\frac{2}{5}$，f（3）=$\frac{2}{9}$，
∴f（n）=$\frac{2}{{n}^{2}}$
∴f（5）=$\frac{2}{25}$，
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-5）=f（5）=$\frac{2}{25}$．
故答案為：$\frac{2}{25}$．

點評 本題考查抽象函數(shù)，考查賦值法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．