Question

已知函數(shù)f(x)＝x³＋ax²＋bx＋4(x∈R)在x＝2處取得極小值．

(1)若函數(shù)f(x)的極小值是－4，求f(x)；

(2)若函數(shù)f(x)的極小值不小于－6，問：是否存在實數(shù)k與函數(shù)f(x)，使得函數(shù)f(x)在[k，k＋3]上單調(diào)遞減．若存在，求出k的取值集合與f(x)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：(1)f′(x)＝3x²＋2ax＋b，

由解得檢驗可知，滿足題意，

故f(x)＝x³－2x²－4x＋4(x∈R)．

(2)假設存在實數(shù)k，使得函數(shù)f(x)在[k，k＋3]上單調(diào)遞減．

設f′(x)＝3x²＋2ax＋b＝0的兩根為x₁，x₂(x₁<x₂)，則x₂＝2.由f′(x)<0，得x∈(x₁，x₂)，∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[x₁，x₂]．

由x₁＋2＝－，解得x₁＝－－2，∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

由條件有

∴函數(shù)f(x)在[－1,2]上單調(diào)遞減．

k＝－1，

∴存在實數(shù)k＝－1，滿足題意．

∴k的取值集合是{－1}，f(x)＝x³－x²－6x＋4.