Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，且S_n+1=4a_n+2（n∈N^*），a₁=1，數(shù)列{b_n}滿足：b_n=a_n+1-2a_n．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）由S_n+1=4a_n+2（n∈N^*），a₁=1，可得a₂=5．當n≥2時，可得a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），由于數(shù)列{b_n}滿足：b_n=a_n+1-2a_n．即可證明b_n=2b_n-1，
（2）利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 （1）證明：∵S_n+1=4a_n+2（n∈N^*），a₁=1，
可得a₁+a₂=4a₁+2，解得a₂=5．
∴當n≥2時，S_n=4a_n-1+2，可得a_n+1=4a_n-4a_n-1，
變形為a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
∵數(shù)列{b_n}滿足：b_n=a_n+1-2a_n．
∴b_n=2b_n-1，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項為a₂-2a₁=3，公比為2．
（2）解：由（1）可得：$_{n}=3×{2}^{n-1}$．

點評 本題考查了遞推式的應用、等比數(shù)列的通項公式，考查了變形能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．