Question

3．已知函數f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$ax²-bx，設h（x）=f（x）-g（x）．
（1）若g（2）=2，討論函數h（x）的單調性；
（2）若函數g（x）是關于x的一次函數，且函數h（x）有兩個不同的零點x₁，x₂，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據g（2）=2，求出h（x）的表達式，求函數的導數，即可討論函數h（x）的單調性．
（2）根據函數g（x）是關于x的一次函數，確定a=0，根據函數h（x）由兩個不同的零點，即可得到結論．

解答 解：（1）∵g（x）=$\frac{1}{2}$ax²-bx，
∴若g（2）=2，得a-b=1，即b=a-1，
∴h（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+bx，定義域為（0，+∞），
h′（x）=$\frac{1}{x}$-ax+b=$\frac{-a{x}^{2}+（a-1）x+1}{x}$=$\frac{（-ax-1）（x-1）}{x}$，
Ⅰ當a≥0時，h（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調遞減．
Ⅱ當a＜0時，令h′（x）=0，得x=1，或x=-$\frac{1}{a}$，
①當a＜-1時，則0＜-$\frac{1}{a}$＜1，則函數h（x）在區(qū)間（0，-$\frac{1}{a}$）和（1，+∞）上單調遞增，在區(qū)間（-$\frac{1}{a}$，1）上單調遞減；
②當a=-1時，h′（x）＜0，則函數h（x）在區(qū)間（0，+∞）單調遞減；
③當-1＜a＜0時，則-$\frac{1}{a}$＞1，則函數h（x）在區(qū)間（0，1）和（-$\frac{1}{a}$，+∞）上單調遞增，在區(qū)間（1，-$\frac{1}{a}$） 上單調遞減；
（2）∵函數g（x）是關于x的一次函數，
∴h（x）=lnx+bx，其定義域為（0，+∞），
由h（x）=0，得b=-$\frac{lnx}{x}$，
記φ（x）=-$\frac{lnx}{x}$，則φ′（x）=$\frac{lnx-1}{{x}^{2}}$，
∴φ（x）=-$\frac{lnx}{x}$在（0，e）單調減，在（e，+∞）但單調增，
∴當x=e時，φ（x）=-$\frac{lnx}{x}$ 取得最小值-$\frac{1}{e}$，
又φ（1）=0∴x∈（0，1）時，φ（x）＞0，而x∈（1，+∞）時，φ（x）＜0，
∴b的取值范圍是（-$\frac{1}{e}$，0）．

點評 本題考查函數的求導由此來確定函數的單調區(qū)間及分類討論a來確定導函數的正負．還有零點存在定理問題．