Question

8．如圖，已知橢圓C：6x²+10y²=15m²（m＞0），經(jīng)過橢圓C的右焦點F且斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C于A、B兩點，M為線段AB的中點，設O為橢圓的中心，射線OM交橢圓于N點．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）是否存在k，使對任意m＞0，總有$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{ON}$成立？若存在，求出所有k的值；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）若m∈[1，5]，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{1}{2}$（m³+4m），求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將原橢圓方程整理成標準方程即可求出a，c，從而求得離心率$\frac{c}{a}$；
（Ⅱ）寫出直線l的方程：y=k（x-m），聯(lián)立橢圓方程消去y即得到（10k²+6）x²-20mk²x+10m²k²-15m²=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)韋達定理即可求出x₁+x₂，y₁+y₂，假設存在k使$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{ON}$，求出N點的坐標，帶入橢圓方程建立關于k的方程，解出k即可；
（Ⅲ）根據(jù)韋達定理求出x₁x₂，y₁y₂，而根據(jù)條件$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-\frac{1}{2}（{m}^{3}+4m）$得到關于m，k的等式并可解出${k}^{2}=-\frac{3}{5}+\frac{78}{25（m+\frac{4}{m}）+5}$，根據(jù)導數(shù)可判斷函數(shù)m$+\frac{4}{m}$在[1，5]上的單調(diào)性及最值情況，從而得出k²的范圍0$＜{k}^{2}≤\frac{1}{7}$，解該不等式即得實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）橢圓C的方程變成：
$\frac{{x}^{2}}{\frac{5{m}^{2}}{2}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{3{m}^{2}}{2}}=1$；
∴${a}^{2}=\frac{5{m}^{2}}{2}，{c}^{2}$=m²；
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{10}}{5}$；
∴橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{10}}{5}$；
（Ⅱ）F（m，0），直線l的方程為y=k（x-m），帶入橢圓方程并整理得：
（10k²+6）x²-20mk²x+10m²k²-15m²=0（1）；
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則：
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{10m{k}^{2}}{5{k}^{2}+3}$，$-\frac{6mk}{5{k}^{2}+3}$；
若存在k使$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{ON}$，則N（$\frac{10m{k}^{2}}{5{k}^{2}+3}，-\frac{6mk}{5{k}^{2}+3}$）；
點N在橢圓C上，∴$6（\frac{10m{k}^{2}}{5{k}^{2}+3}）^{2}+10（-\frac{6mk}{5{k}^{2}+3}）^{2}=15{m}^{2}$；
整理得：5k⁴-2k²-3=0；
解得${k}^{2}=1，或-\frac{3}{5}$（舍去）；
∴k=±1；
即存在k=±1使$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{ON}$；
（Ⅲ）由方程（1）知${x}_{1}{x}_{2}=\frac{10{m}^{2}{k}^{2}-15{m}^{2}}{10{k}^{2}+6}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-9{m}^{2}{k}^{2}}{10{k}^{2}+6}$；
∴∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-\frac{1}{2}（{m}^{3}+4m）$；
∴$\frac{{m}^{2}{k}^{2}-15{m}^{2}}{10{k}^{2}+6}=-\frac{1}{2}（{m}^{3}+4m）$；
求出k²=$\frac{-3{m}^{2}+15m-12}{5{m}^{2}+m+20}=-\frac{3}{5}+\frac{78}{25（m+\frac{4}{m}）+5}$；
設f（m）=$m+\frac{4}{m}$，$f′（m）=\frac{{m}^{2}-4}{{m}^{2}}$；
∴m∈[1，2）時，f′（m）＜0，m∈（2，5]時，f′（m）＞0；
∴f（m）在[1，2）上單調(diào)遞減，在（2，5]上單調(diào)遞增，m=2時f（m）取最小值4，f（1）=5，f（5）=$\frac{29}{5}$；
∴f（m）的最大值為$\frac{29}{5}$；
∴k²的最大值為$-\frac{3}{5}+\frac{78}{105}=\frac{1}{7}$，最小值為$-\frac{2}{25}$，所以k²＞0；
即0$＜{k}^{2}≤\frac{1}{7}$；
∴k的取值范圍為$[-\frac{\sqrt{7}}{7}，0）∪（0，\frac{\sqrt{7}}{7}]$．

點評 考查橢圓的標準方程，橢圓的離心率的概念及求法，橢圓的焦點，直線的點斜式方程，韋達定理，向量加法的平行四邊形法則，向量加法、數(shù)量積的坐標運算，以及根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)最值．