Question

15．設z₁=a+2i（a∈R），z₂=3-4i．
（1）若z₁•z₂為純虛數(shù)，求a的值；
（2）若$\frac{z_1}{z_2}$在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，求a取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用復數(shù)的運算法則、純虛數(shù)的定義即可得出；
（2）利用復數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出．

解答 解：（1）z₁•z₂=（a+2i）•（3-4i）=（3a+8）+（6-4a）i為純虛數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}3a+8=0\\ 6-4a≠0\end{array}\right.$，解得$a=-\frac{8}{3}$．   
（2）$\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+2i}{3-4i}=\frac{（a+2i）•（3+4i）}{25}=\frac{3a-8}{25}+\frac{6+4a}{25}i$，
∵$\frac{z_1}{z_2}$在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{3a-8}{25}＜0\\ \frac{6+4a}{25}＞0\end{array}\right.$，
解得$-\frac{3}{2}＜a＜\frac{8}{3}$．
∴a的取值范圍是$（-\frac{3}{2}，\frac{8}{3}）$．

點評 本題考查了復數(shù)的運算法則、純虛數(shù)的定義、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．