Question

2．設f（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內可導，且f（1）=0，試證至少存在一點ξ∈（0，1），使f′（ξ）=-$\frac{3f（ξ）}{ξ}$．

Answer 1

分析 設F（x）=x³f（x），可得F（1）=F（0）=0，根據羅爾定理，可得在（0，1）內至少存在一點ξ，使得F′（ξ）=0，進而得到答案．

解答 證明：設F（x）=x³f（x），顯然函數F（x）在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內可導，
且F（0）=0f（0）=0，F（1）=1f（1）=0，
即F（0）=F（1）
所以根據羅爾定理，在（0，1）內至少存在一點ξ，使得F′（ξ）=3ξ²f（ξ）+ξ³f′（ξ）=0．
即3f（ξ）=-ξf′（ξ），
即f′（ξ）=-$\frac{3f（ξ）}{ξ}$．

點評 本題考查的知識點是羅爾定義的應用，函數的連續(xù)性，難度中檔．