Question

15．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+1，h（x）=2x+2a．
（1）當(dāng)a＞1時(shí)，解關(guān)于x的方程f（x）=|h（x）|；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≥h（x）}\\{h（x），f（x）＜h（x）}\end{array}\right.$，求g（x）在x∈[2，4]時(shí)的最小值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=|h（x）|可得|x+a|=1+a或|x+a|=1-a，進(jìn)而得到結(jié)論；
（2）由f（x）-h（x）=（x-1）[x-（1-2a）]，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x），f（x）≥h（x）\\ h（x），f（x）＜h（x）\end{array}\right.$，對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，即可確定g（x）在x∈[2，4]時(shí)的最小值．

解答 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x²+2ax+1，h（x）=2x+2a，f（x）=|h（x）|，
所以x²+2ax+1=2|x+a|，
所以（x+a）²-2|x+a|+1-a²=0，則|x+a|=1+a或|x+a|=1-a． 
當(dāng)a＞1時(shí)，|x+a|=1+a，所以x=1或x=-（1+2a）．
（2）因?yàn)閒（x）-h（x）=（x-1）[x-（1-2a）]，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x），f（x）≥h（x）\\ h（x），f（x）＜h（x）\end{array}\right.$
①若a≥-$\frac{1}{2}$，則x∈[2，4]時(shí)，f（x）≥h（x），所以g（x）=h（x）=2x+2a，
從而g（x）的最小值為g（2）=2a+4；            
②若a＜-$\frac{3}{2}$，則x∈[2，4]時(shí)，f（x）＜h（x），所以g（x）=f（x）=x²+2ax+1，
當(dāng)-2≤a＜-$\frac{3}{2}$時(shí)，g（x）的最小值為g（2）=4a+5，
當(dāng)-4＜a＜-2時(shí)，g（x）的最小值為g（-a）=1-a²，
當(dāng)a≤-4時(shí)，g（x）的最小值為g（4）=8a+17．
③若-$\frac{3}{2}$≤a＜-$\frac{1}{2}$，則x∈[2，4]時(shí)，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+2ax+1，x∈[2，1-2a）\\ 2x+2a，x∈[1-2a，4]\end{array}\right.$，
當(dāng)x∈[2，1-2a）時(shí)，g（x）最小值為g（2）=4a+5；
當(dāng)x∈[1-2a，4]時(shí)，g（x）最小值為g（1-2a）=2-2a．
因?yàn)?$\frac{3}{2}$≤a＜-$\frac{1}{2}$，（4a+5）-（2-2a）=6a+3＜0，
所以g（x）最小值為4a+5．
綜上所述，[g（x）]_min=$\left\{\begin{array}{l}8a+17，a≤-4\\ 1-{a}^{2}，-4＜a＜-2\\ 4a+5，-2≤a＜-\frac{1}{2}\\ 2a+4，a≥-\frac{1}{2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查恒成立問(wèn)題，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，正確分類(lèi)是關(guān)鍵．