Question

10．如圖，已知直線PA與⊙O切于點(diǎn)A，直線PB過(guò)圓心O，且與⊙O交于點(diǎn)B、C（PB＜PC），若PA=3，PB=1．
（1）求sin∠PAB的大��；
（2）若∠BAC的平分線與BC交于點(diǎn)D，與⊙O的另一個(gè)交點(diǎn)為E，求AD•DE．

Answer 1

分析 （1）利用△PAB∽△PCA，可得$\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}=\frac{AB}{CA}$，結(jié)合PA=3，PB=1，可得$\frac{AB}{CA}$=$\frac{1}{3}$，即可求sin∠PAB的大��；
（2）利用角平分線的性質(zhì)，可得$\frac{AB}{CA}$=$\frac{DB}{CD}$=$\frac{1}{3}$，求出BC，可得DB，CD，利用相交弦定理，即可求AD•DE．

解答 解：（1）∵直線PA與⊙O切于點(diǎn)A，直線PB過(guò)圓心O，且與⊙O交于點(diǎn)B、C（PB＜PC），
∴∠PAB=∠ACB
∴△PAB∽△PCA，
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}=\frac{AB}{CA}$，
∵PA=3，PB=1，
∴$\frac{AB}{CA}$=$\frac{1}{3}$，
∴sin∠ACB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴sin∠PAB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（2）由角平分線的性質(zhì)，可得$\frac{AB}{CA}$=$\frac{DB}{CD}$=$\frac{1}{3}$，
∵PA²=PB•PC，∴PC=9，
∴BC=8，
∴DB=2，CD=6，
∴AD•DE=DB•CD=12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查角平分線的性質(zhì)、相交弦定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．