Question

2．過雙曲線$\frac{x^{2}}{a^{2}}$-$\frac{y^{2}}{b^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上一點P做直線PA，PB交雙曲線于A，B兩點，且斜率分別為k₁，k₂，若直線AB過原點，k₁•k₂=2，則雙曲線的離心率e等于（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由于A，B連線經(jīng)過坐標原點，所以A，B一定關于原點對稱，利用直線PA，PB的斜率乘積，可尋求幾何量之間的關系，從而可求離心率．

解答 解：根據(jù)雙曲線的對稱性可知A，B關于原點對稱，
設A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），P（x，y），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}=1$，
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}-y}{{x}_{1}-x}•\frac{-{y}_{1}-y}{-{x}_{1}-x}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=2，
∴該雙曲線的離心率e=$\sqrt{1+2}$=$\sqrt{3}$．
故選：A．

點評 本題主要考查雙曲線的幾何性質，考查點差法，關鍵是設點代入化簡，應注意雙曲線幾何量之間的關系．