Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=bsinθ}\end{array}$（θ為參數(shù)，a，b＞0），以O(shè)為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，在此極坐標(biāo)系下，直線E的極坐標(biāo)方程為$ρsin（θ+\frac{π}{4}）$=4$\sqrt{2}$．
（1）將曲線C的參數(shù)方程及直線E的極坐標(biāo)方程分別化為普通方程與直角坐標(biāo)方程；
（2）若a=b，且曲線C與直線E相切，求a的值；
（3）若a=3，b=4，求曲線C上的點到直線E距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用cos²θ+sin²θ=1可把曲線C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=bsinθ}\end{array}$（θ為參數(shù)，a，b＞0），化為直角坐標(biāo)方程．直線E的極坐標(biāo)方程為$ρsin（θ+\frac{π}{4}）$=4$\sqrt{2}$，展開為$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$=4$\sqrt{2}$，即可化為極坐標(biāo)方程．
（2）由a=b，曲線C為x²+y²=a²．根據(jù)曲線C與直線E相切的充要條件為圓心到直線的距離等于半徑即可得出．
（3）當(dāng)a=3，b=4時，曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$，設(shè)P（3cosα，4sinα）是橢圓C上的一點，點P到直線E距離d=$\frac{|3cosα+4sinα-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{8-5sin（α+φ）}{\sqrt{2}}$，即可得出．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=bsinθ}\end{array}$（θ為參數(shù)，a，b＞0），化為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．
直線E的極坐標(biāo)方程為$ρsin（θ+\frac{π}{4}）$=4$\sqrt{2}$，展開為$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$=4$\sqrt{2}$，直角坐標(biāo)方程為y+x-8=0．
（2）由a=b，曲線C為x²+y²=a²．∵曲線C與直線E相切，
∴a=$\frac{8}{\sqrt{2}}$，解得a=4$\sqrt{2}$．
（3）當(dāng)a=3，b=4時，曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$，
設(shè)P（3cosα，4sinα）是橢圓C上的一點，點P到直線E距離d=$\frac{|3cosα+4sinα-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|5sin（α+φ）-8|}{\sqrt{2}}$$≥\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴曲線C上的點到直線E距離的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用、直線與橢圓的位置公式、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．