Question

【題目】如圖，在直角梯形中，E，F分別為AB的三等分點，，，，若沿著FG，ED折疊使得點A，B重合，如圖2所示，連結GC，BD

（1）求證：平面平面BCDE；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）取BD，BE的中點分別為O，M，連結GO，OM，MF，先證四邊形為平行四邊形，可得，再證平面，因此平面，進而可得平面平面；

（2）以為軸，為軸，建立空間直角坐標系，求出各點坐標，求得平面CDG和平面CBG的法向量，進而求得二面角的余弦值.

（1）如圖，取BD，BE的中點分別為O，M，連結GO，OM，MF，

，，

又因為，，

所以，，

故四邊形為平行四邊形，

故，

因為M為EB的中點，三角形為等邊三角形，故，

因為平面平面，

故平面，

因此平面，又平面，

故平面平面；

（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

，，，

設平面CDG的法向量為，則，

取，得：，

同理得出平面CBG的法向量，

，

所以二面角的余弦值為.