Question

5．橢圓$\frac{{x}^{2}}{80}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1上的點(diǎn)到直線x+2y-$\sqrt{10}$=0的最大距離是（　　）

• A． 3
• B． 5$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 設(shè)出與x+2y-$\sqrt{10}$=0平行的直線方程x+2y+c=0，與橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程后由判別式等于0求得c值，得到與橢圓相切，并且與直線x+2y-$\sqrt{10}$=0距離遠(yuǎn)的直線方程，再由兩平行線間的距離公式得答案．

解答 解：設(shè)直線x+2y+c=0與橢圓$\frac{{x}^{2}}{80}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1相切，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y+c=0}\\{\frac{{x}^{2}}{80}+\frac{{y}^{2}}{20}=1}\end{array}\right.$，得2x²-2cx+c²-80=0．
由△=（-2c）²-8（c²-80）=-4c²+640=0，
解得：c=$±4\sqrt{10}$．
∴當(dāng)c=4$\sqrt{10}$時(shí)，直線x+2y+$4\sqrt{10}$=0與直線x+2y-$\sqrt{10}$=0相距最遠(yuǎn)．
則橢圓$\frac{{x}^{2}}{80}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1上的點(diǎn)到直線x+2y-$\sqrt{10}$=0的最大距離是$\frac{|5\sqrt{10}|}{\sqrt{5}}=5\sqrt{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了兩條平行線間距離公式的應(yīng)用，是中檔題．