Question

20．已知a，b，c∈R₊．
（1）比較：$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$與$\frac{9}{2（a+b+c）}$的大小
（2）當(dāng)$\frac{a}$+$\frac{2c}$+$\frac{4a}{c}$取最小值m時(shí)，求m+$\frac{b+c}{a}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式，即可得出結(jié)論；
（2）$\frac{a}$+$\frac{2c}$+$\frac{4a}{c}$≥3$\root{3}{\frac{a}•\frac{2c}•\frac{4a}{c}}$=6，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}$=$\frac{2c}$=$\frac{4a}{c}$=2時(shí)，取等號(hào)，即m=6，b=2a，c=2a，即可求m+$\frac{b+c}{a}$的值．

解答 解：（1）∵（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$）[（a+b）+（b+c）+（c+a）]=3+$\frac{b+c}{a+b}+\frac{a+b}{b+c}$+$\frac{c+a}{a+b}+\frac{a+b}{c+a}$+$\frac{c+a}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}$≥3+2+2+2=9，
∴$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$≥$\frac{9}{2（a+b+c）}$；
（2）$\frac{a}$+$\frac{2c}$+$\frac{4a}{c}$≥3$\root{3}{\frac{a}•\frac{2c}•\frac{4a}{c}}$=6，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}$=$\frac{2c}$=$\frac{4a}{c}$=2時(shí)，取等號(hào)，即m=6，b=2a，c=2a，
∴m+$\frac{b+c}{a}$=6+4=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用基本不等式是關(guān)鍵．