Question

5．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，它的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好是雙曲線y²-x²=1的兩個(gè)焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點(diǎn)P（2，1），Q（2，-1）在橢圓上，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，滿足于∠APQ=∠BPQ，試求直線AB的斜率．

Answer 1

分析 （1）由已知得橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為$（0，\sqrt{2}），（0，-\sqrt{2}）$，由此得到b²=2，由離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得a²=8．由此能求出橢圓的方程．
（2）直線AP與直線BP的傾斜角互補(bǔ)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），k_AP=k，則有k_BP=-k，直線AP的方程y=k（x-2）+1，直線BP的方程y=-k（x-2）-1，由此分別把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，分別求出A、B的坐標(biāo)，從而能求出直線AB的斜率．

解答 解：（1）∵橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，它的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好是雙曲線y²-x²=1的兩個(gè)焦點(diǎn)．
雙曲線y²-x²=1的焦點(diǎn)為$（0，\sqrt{2}），（0，-\sqrt{2}）$，
∴橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為$（0，\sqrt{2}），（0，-\sqrt{2}）$，
由于橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，∴b²=2，由于離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得a²=8．
由此可得橢圓的方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）∵∠APQ=∠BPQ，∴直線AP與直線BP的傾斜角互補(bǔ)，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），k_AP=k，則有k_BP=-k，
直線AP的方程y=k（x-2）+1，直線BP的方程y=-k（x-2）-1，
聯(lián)立方程$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1}\\{y=k（x-2）+1}\end{array}}\right.$，化簡(jiǎn)得（1+4k²）x²+（8k-16k²）x+16k²-16k-4=0，
由于直線AP與橢圓的交點(diǎn)為A、P，∴$2{x_1}=\frac{{16{k^2}-16k-4}}{{1+4{k^2}}}$，
即${x_1}=\frac{{8{k^2}-8k-2}}{{1+4{k^2}}}$，代入直線方程AP得：${y_1}=\frac{{-4{k^2}-4k+1}}{{1+4{k^2}}}$，
A點(diǎn)的坐標(biāo)為$（\frac{{8{k^2}-8k-2}}{{1+4{k^2}}}，\frac{{-4{k^2}-4k+1}}{{1+4{k^2}}}）$，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為$（\frac{{8{k^2}+8k-2}}{{1+4{k^2}}}，\frac{{-4{k^2}+4k+1}}{{1+4{k^2}}}）$，
∴${k_{AB}}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線、橢圓、韋達(dá)定理、斜率公式等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．