Question

4．下列五個(gè)命題：
①“a＞2”是“f（x）=ax-sinx為R上的增函數(shù)”的充分不必要條件；
②函數(shù)$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+x+1$有兩個(gè)零點(diǎn)；
③集合A={2，3}，B={1，2，3}，從A，B中各任意取一個(gè)數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是$\frac{1}{3}$；
④動(dòng)圓C既與定圓（x-2）²+y²=4相外切，又與y軸相切，則圓心C的軌跡方程是y²=8x（x≠0）；
⑤若對任意的正數(shù)x，不等式e^x≥x+a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤1．
其中正確的命題序號是①③⑤．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)法求出f（x）=ax-sinx為R上的增函數(shù)等價(jià)命題，進(jìn)而根據(jù)充要條件的定義，可判斷①；
求出函數(shù)$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+x+1$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可判斷②；
求出從A，B中各任意取一個(gè)數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率，可判斷③；
求出圓心C的軌跡方程，可判斷④；
求出使不等式e^x≥x+a恒成立，的實(shí)數(shù)a的取值范圍，可判斷⑤．

解答 解：當(dāng)f（x）=ax-sinx時(shí)，f′（x）=a-cosx，當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）≥0在R上恒成立，f（x）=ax-sinx為R上的增函數(shù)，
由{a|a＞2}?{a|a≥1}，故“a＞2”是“f（x）=ax-sinx為R上的增函數(shù)”的充分不必要條件，即①正確；
當(dāng)函數(shù)$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+x+1$時(shí)，f′（x）=-x²+1，令f′（x）=0，則x=±1，根據(jù)三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）的極小值$\frac{1}{3}$＞0，故f（x）僅有一個(gè)零點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；
集合A={2，3}，B={1，2，3}，從A，B中各任意取一個(gè)數(shù)共有2×3=6種情況，其中這兩數(shù)之和等于4有（2，2），（3，1）兩種情況，故這兩數(shù)之和等于4的概率是$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，故③正確；
動(dòng)圓C既與定圓（x-2）²+y²=4相外切，又與y軸相切，則圓心C的軌跡方程是y²=8x（x≠0）或y=0（x＜0），故④錯(cuò)誤；
若對任意的正數(shù)x，不等式e^x≥x+a恒成立，即a≤e^x-x對任意的正數(shù)x恒成立，令h（x）=e^x-x，則h′（x）=e^x-1，當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）＞0恒成立，故h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
則a≤h（0）=1，故⑤正確；
故正確的命題序號是①③⑤；
故答案為：①③⑤

點(diǎn)評 本題以命題的真假判斷為載體，考查了充要條件，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)，概率，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，軌跡方程，恒成立問題等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．