Question

8．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，D，E分別為CC₁和A₁B₁的中點，且A₁A=AC=2AB=2．
（1）求證：C₁E∥面A₁BD；
（2）求點C₁到平面A₁BD的距離．

Answer 1

分析 （1）以A₁為原點，A₁B₁為x軸，A₁C₁為y軸，A₁A為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明C₁E∥面A₁BD．
（2）求出$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（0，2，0），利用向量法能求出點C₁到平面A₁BD的距離．

解答 證明：（1）以A₁為原點，A₁B₁為x軸，A₁C₁為y軸，A₁A為z軸，建立空間直角坐標系，
由已知得C₁（0，2，0），E（$\frac{1}{2}$，0，0），A₁（0，0，0），B（1，0，2），D（0，2，1），
$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=（$\frac{1}{2}，-2$，0），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（1，0，2），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，2，1），
設(shè)平面A₁BD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=2y+z=0}\end{array}\right.$，取x=4，得$\overrightarrow{n}$=（4，1，-2），
∵$\overrightarrow{{C}_{1}E}$•$\overrightarrow{n}$=2-2+0=0，C₁E?平面A₁BD，
∴C₁E∥面A₁BD．
解：（2）$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（0，2，0），
∴點C₁到平面A₁BD的距離：
d=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|2|}{\sqrt{21}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{21}$．
∴點C₁到平面A₁BD的距離為$\frac{2\sqrt{21}}{21}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．