Question

3．已知函數(shù)f（x）=sin$\frac{x}{3}cos\frac{x}{3}+\sqrt{3}{cos^2}\frac{x}{3}$．
（1）將f（x）寫(xiě)成Asin（ωx+φ）+h（A＞0）的形式，并求其圖象對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)；
（2）若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?D=（0，\frac{π}{3}）$，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式對(duì)解析式化簡(jiǎn)；
（2）由自變量的范圍確定（$\frac{2}{3}x+\frac{π}{3}$）的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求值域．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{1}{2}sin\frac{2x}{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}（1+cos\frac{2x}{3}）=sin（\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（3分）
由$sin（\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}）$=0即$\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}=kπ（k∈z）得x=\frac{3k-1}{2}π\(zhòng)begin{array}{l}，&{k∈z}\end{array}$
即對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)為$\frac{3k-1}{2}π\(zhòng)begin{array}{l}，&{k∈z}\end{array}$…（6分）
（2）∴$\frac{1}{2}≤cosx＜1，0＜x≤\frac{π}{3}，\frac{π}{3}＜\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}≤\frac{5π}{9}$，…（9分）
∵$|\frac{π}{3}-\frac{π}{2}|＞|\frac{5π}{9}-\frac{π}{2}|$，∴$sin\frac{π}{3}＜sin（\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}）≤1$，∴$\sqrt{3}＜sin（\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即f（x）的值域?yàn)?（\sqrt{3}，1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$，
綜上所述，$x∈（0，\frac{π}{3}]$，f（x）的值域?yàn)?（\sqrt{3}，1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的倍角公式的運(yùn)用以及Asin（ωx+φ）+h的形式的值域求法，經(jīng)�？疾椋�注意掌握．