Question

4．已知函數(shù)f（x）=sin（π-ωx）cosωx（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求ω的值
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的$\frac{1}{2}$，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{16}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由誘導(dǎo)公式，倍角公式化簡函數(shù)解析式，由三角函數(shù)的周期性及其求法即可得解．
（2）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得函數(shù)解析式：g（x）=$\frac{1}{2}$sin4x，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求值．

解答 解：（1）f（x）=sin（π-ωx）cosωx=sinωxcosωx=$\frac{1}{2}$sin2ωx．
∵T=$π=\frac{2π}{2ω}$，
∴可解得：ω=1．
（2）由（1）可得函數(shù)解析式為：f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x．
將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的$\frac{1}{2}$，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)解析式為：y=g（x）=f（2x）=$\frac{1}{2}$sin4x．
∵0≤x≤$\frac{π}{16}$時，0≤4x≤$\frac{π}{4}$，
∴0≤sin4x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴0≤g（x）≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴g（x）在此區(qū)間內(nèi)的最小值為0．

點評 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，三角函數(shù)的周期性及其求法，利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系式可以化簡三角函數(shù)式（1）化簡的標(biāo)準(zhǔn)有：第一，盡量使函數(shù)種類最少，次數(shù)最低，而且盡量化成積的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根號內(nèi)的三角函數(shù)式盡量開出．