Question

20．設(shè)三角形的三條邊的長(zhǎng)度分別是x，y，$\sqrt{{x}^{2}-xy+{y}^{2}}$，則最大邊與最小邊的夾角θ=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)x＞y＞0，可得三角形的三邊關(guān)系是：x＞$\sqrt{{x}^{2}-xy+{y}^{2}}$＞y＞0，利用余弦定理即可求得cosθ=$\frac{1}{2}$，結(jié)合角的范圍，即可解得夾角θ的值．

解答 解：設(shè)x＞y＞0，
1、x＞y＞0，
xy＞y²，
0＞-xy+y²，
x²＞x²-xy+y²
x＞$\sqrt{{x}^{2}-xy+{y}^{2}}$；
2、x＞y＞0，
x²＞xy，
x²-xy＞0，
x²-xy+y²＞y²，
$\sqrt{{x}^{2}-xy+{y}^{2}}$＞y，
綜上可得：三角形的三邊關(guān)系是：x＞$\sqrt{{x}^{2}-xy+{y}^{2}}$＞y＞0
那么最長(zhǎng)邊與最短邊的夾角就是x與y的夾角
cosθ=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}-{x}^{2}+xy-{y}^{2}}{2xy}$=$\frac{1}{2}$，故解得：夾角θ是$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，正確判斷三角形三邊的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．