Question

1．把函數(shù)f（x）=x²cosx在（0，+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排列為x₁，x₂，…，x_n，…，則對(duì)任意正整數(shù)n必有（　�。�

• A． -$\frac{π}{2}$＜x_n+1-x_n＜0
• B． 1＜x_n+1-x_n＜$\frac{π}{2}$
• C． $\frac{π}{2}$＜x_n+1-x_n＜π
• D． π＜x_n+1-x_n＜$\frac{3π}{2}$

Answer 1

分析 求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于0，求方程的根，判斷方程的根都是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，確定出方程根的取值范圍；然后利用不等式的性質(zhì)及兩角差的正切公式求出x_n+1-x_n的范圍．

解答 解：f′（x）=2xcosx-x²sinx，
由f′（x）=0，x∈（0，+∞）得：
x=$\frac{2}{tanx}$，x∈（0，+∞）
設(shè)x₀是方程x=$\frac{2}{tanx}$的任意正實(shí)數(shù)根，即${x}_{0}=\frac{2}{ta{nx}_{0}}$，
則存在非負(fù)整數(shù)k，使x₀∈（kπ，kπ$+\frac{π}{2}$）．
當(dāng)x∈（kπ，x₀）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（kπ，x₀）時(shí)，f′（x）＞0，$當(dāng)x∈（{x}_{0}，kπ+\frac{π}{2}）時(shí)，f′（x）＜0$，
所以滿足方程x=$\frac{2}{tanx}$的正根都是函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)的極值點(diǎn)．
∴（k-1）π$＜{x}_{n}＜（k-1）π+\frac{π}{2}$，kπ$＜{x}_{n+1}＜kπ+\frac{π}{2}$，k∈N．
∴$\frac{π}{2}＜$x_n+1-x_n$＜\frac{3π}{2}$．
又∵x_n+1-x_n=$\frac{2}{tan{x}_{n+1}}-\frac{2}{tan{x}_{n}}$=$\frac{2（tan{x}_{n}-tan{x}_{n+1}）}{tan{x}_{n+1}tan{x}_{n}}$=$\frac{2tan（{x}_{n}-{x}_{n+1}）（1+tan{x}_{n}tan{x}_{n+1}）}{tan{x}_{n}tan{x}_{n+1}}$＞0
由于$\frac{（1+tan{x}_{n}tan{x}_{n+1}）}{tan{x}_{n}tan{x}_{n+1}}＞0$，所以tan（x_n-x_n+1）＞0，
∴x_n+1-x_n＜π．
綜上：$\frac{π}{2}＜{x}_{n+1}-{x}_{n}＜π$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的極值、三角方程及不等式的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，解答本題的關(guān)鍵是確定每一個(gè)極值點(diǎn)的范圍．