Question

7．已知函數(shù)$f（x）=\frac{3^x}{{{3^x}+1}}$，正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足a₁₀₀₈=1，則f（lna₁）+f（lna₂）+f（lna₃）+…+f（lna₂₀₁₅）=（　　）

• A． 2015
• B． $\frac{2015}{2}$
• C． 2016
• D． 1008

Answer 1

分析 由正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的性質(zhì)可得：a_k•a_2016-k=${a}_{1008}^{2}$=1，可得lna_k+lna_2016-k=0．又f（0）=$\frac{1}{2}$，f（x）+f（-x）=1，即可得出．

解答 解：由正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的性質(zhì)可得：a_k•a_2016-k=${a}_{1008}^{2}$=1，
∴l(xiāng)na_k+lna_2016-k=0．
f（0）=$\frac{1}{2}$，
又f（x）+f（-x）=$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$+$\frac{{3}^{-x}}{{3}^{-x}+1}$=$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$+$\frac{1}{{3}^{x}+1}$=1，
∴f（lna₁）+f（lna₂）+f（lna₃）+…+f（lna₂₀₁₅）
=[f（lna₁）+f（lna₂₀₁₅）]+[f（lna₂）+f（lna₂₀₁₄）]+…+[f（lna₁₀₀₇）+f（a₁₀₀₉）]+f（lna₁₀₀₈）
=1007+$\frac{1}{2}$=$\frac{2015}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．