Question

已知函數(shù)，．

(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2) 若直線是函數(shù)圖象的切線，求的最小值；

(3)當(dāng)時(shí)，若與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求證：．

（取為，取為，取為）

Answer 1

 解：（1）,則，

∵在上單調(diào)遞增，∴對(duì)，都有，

即對(duì)，都有，∵，∴，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．                           

 (2) 設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，

即，亦即，

令，由題意得，……７分

令，則，

當(dāng)時(shí) ，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

∴，故的最小值為．             ………………１０分

（3）由題意知，，

兩式相加得，兩式相減得，

即，∴，

即，　　　　　　　　　　　　    …………１２分

不妨令，記，令，則，

 ∴在上單調(diào)遞增，則，

∴，則，∴，

又，

∴，即，

令，則時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，

又，

∴，則，即．