Question

12．已知函數(shù)f（x）對任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，若f（1）=-1，求f（x）在[-4，4]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 在f（x+y）=f（x）+f（y）中，用特殊值法，令x=y=0可得f（0）=f（0）+f（0），可得f（0）=0；
在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0），即可得f（x）為奇函數(shù)；設(shè)x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）成立，結(jié)合題意，可得f（x）為減函數(shù)，即可得f（x）在[-4，4]上的最大值與最小值分別為f（-4）、f（4），借助f（x+y）=f（x）+f（y）與f（1）的值，可得f（4）、f（-4）的值，即可得答案．

解答 解：在f（x+y）=f（x）+f（y）中，
令x=y=0可得f（0）=f（0）+f（0），
可得f（0）=0；
因?yàn)閤，y∈R時(shí)，f（x+y）=f（x）+f（y），
令y=-x，可得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）
所以f（-x）=-f（x）
所以f（x）為奇函數(shù)；
設(shè)x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）
因?yàn)閤＞0時(shí)f（x）＜0，所以f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
所以f（x）為減函數(shù)；
所以f（x）在[-4，4]上的最大值為f（-4），最小值為f（4）．
因?yàn)閒（4）=f（3）+f（1）=4f（1）=-4，f（-4）=-f（4）=4，
所以函數(shù)在[-4，4]上的最大值為4，最小值為-4．

點(diǎn)評 本題考查抽象函數(shù)的運(yùn)用，涉及函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，難點(diǎn)在于根據(jù)f（x+y）=f（x）+f（y），運(yùn)用特殊值法，分析得到函數(shù)f（x）的性質(zhì)以及函數(shù)值．