Question

8．中心在坐標(biāo)原點，其中一個焦點為（$\sqrt{3}$，0），離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$橢圓的左、右焦點為F₁，F(xiàn)₂．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若P是該橢圓上的一個動點，求$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最大值和最小值；
（Ⅲ）設(shè)過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)橢圓的定義求得橢圓方程．
（Ⅱ）根據(jù)題意，求出a，b，c的值，然后設(shè)P的坐標(biāo)，根據(jù)PF₁•PF₂的表達式，按照一元二次函數(shù)求最值方法求解．
（Ⅲ）設(shè)出直線方程，與已知橢圓聯(lián)立方程組，運用設(shè)而不求韋達定理求出根的關(guān)系，求出k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵其中一個焦點為（$\sqrt{3}$，0），離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴c=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴a=2，b=1
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$
（Ⅱ）由題意易知，焦點為（$\sqrt{3}$，0），（-$\sqrt{3}$，0），設(shè)P（x，y），
則$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}=（-\sqrt{3}-x，-y）•（\sqrt{3}-x，-y）$=${x}^{2}+{y}^{2}-3={x}^{2}+1-\frac{{x}^{2}}{4}-3=\frac{1}{4}（3{x}^{2}-8）$
因為x∈[-2，2]，
故當(dāng)x=0，即點P為橢圓短軸端點時，
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$有最小值-2
當(dāng)x=±2，即點P為橢圓長軸端點時，
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$有最大值1
（Ⅲ）顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件，
可設(shè)直線l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得：$（{k}^{2}+\frac{1}{4}）{x}^{2}+4kx+3=0$
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4k}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{3}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$
由△=$（4k）^{2}-4（{k}^{2}+\frac{1}{4}）×3=4{k}^{2}-3＞0$得：$k＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$或$k＞\frac{\sqrt{3}}{2}$①
又0°＜∠AOB＜90°?；cos∠AOB＞0cos∠AOB＞0?$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞0$
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}＞0$
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）
=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=$\frac{3{k}^{2}}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}+\frac{-8{k}^{2}}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}+4=\frac{-{k}^{2}+1}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$
∵$\frac{3}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}+\frac{-{k}^{2}+1}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}＞0$
即k²＜4，∴-2＜k＜2②
故由①、②得：
$-2＜k＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}＜k＜2$

點評 本題主要考查直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題及推理計算能力．本題為中檔題，需要熟練運用設(shè)而不求韋達定理．