Question

3．動點P到定點D（1，0）的距離與到直線l：x=-1的距離相等，動點P形成曲線記作C．
（1）求動點P的軌跡方程
（2）過點Q（4，1）作曲線C的弦AB，恰被Q平分，求AB所在直線方程．

Answer 1

分析 （1）先設P（x，y），由拋物線定義知點P的軌跡E為拋物線，寫出其標準方程即可；
（2）設出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將兩點坐標代入拋物線方程，兩個等式相減得到中點的坐標與斜率的關系，求出直線的斜率，利用點斜式寫出直線的方程．

解答 解：（1）設P（x，y），
由拋物線定義知點P的軌跡E為拋物線，
其方程為：y²=4x．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
兩式相減得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）
∵過點Q（4，1）作曲線C的弦AB，恰被Q平分，
∴8（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴K_AB=$\frac{1}{2}$
直線AB方程：y-1=$\frac{1}{2}$（x-4），即x-2y-2=0．

點評 本題主要考查了拋物線的定義，考查直線方程，解決直線與圓錐曲線相交得到的弦中點或中點弦問題，常規(guī)方法是：將直線與圓錐曲線的方程聯立利用韋達定理解決；也可以用點差法來解決．