Question

11．已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，求它的表面積、體積．

Answer 1

分析 如圖所示，由等邊三角形的面積計算公式可得：△SAB的面積=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$．即可得出四面體S-ABC的表面積．設O為△ABC的中心，延長AO交BC于點D，連接SO，SD，則SO⊥底面ABC，D為BC的中點．可得$AD=\frac{\sqrt{3}}{2}$a=SD，OD=$\frac{1}{3}AD$，AO=$\sqrt{S{D}^{2}-O{D}^{2}}$．利用V_S-ABC=$\frac{1}{3}•{S}_{△ABC}×SO$即可得出．

解答 解：如圖所示，
由等邊三角形的面積計算公式可得：△SAB的面積=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$．
∴四面體S-ABC的表面積為4×$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=$\sqrt{3}{a}^{2}$．
設O為△ABC的中心，延長AO交BC于點D，連接SO，SD，則SO⊥底面ABC，D為BC的中點．
∴$AD=\frac{\sqrt{3}}{2}$a=SD，OD=$\frac{1}{3}AD$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，
∴AO=$\sqrt{S{D}^{2}-O{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a．
∴V_S-ABC=$\frac{1}{3}•{S}_{△ABC}×SO$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$a=$\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^{3}$．

點評 本題考查了等邊三角形的性質及其面積計算公式、正三棱錐的性質、線面垂直的判定與性質定理、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．