Question

如圖，在四棱錐中，，，為正三角形，且平面平面．

（1）證明：；

（2）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2） ．

【解析】

試題分析：（1）取的中點(diǎn)，然后利用矩形及正三角形的性質(zhì)可證明，，從而可證明結(jié)果；（2）可考慮分別以，為軸，軸，軸建立空間直線坐標(biāo)系，通過求兩個(gè)平面的法向量的夾角來求二面角的余弦值．或考慮通過過點(diǎn)作，然后證明為所求二面角的一個(gè)平面角，再在中進(jìn)行計(jì)算．

（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，

∵為正三角形，∴．

又∵在四邊形中，

，∴,且，

∴四邊形ABCO為平行四邊形，∴ ，

∴，∴．

（2）(法一)：由（1）知，且平面平面∴平面，所以分別以，為軸，軸，軸建立如圖，

所示的直角坐標(biāo)系，并設(shè)，則，,

∴，，，，，

∴，,, ．

設(shè)平面，平面的法向量分別為，

則∴

∴分別取平面，平面的一個(gè)法向量，

∴，

∴二面角的余弦值為．

(法一)：由（1）知，且平面平面，∴平面，

過點(diǎn)作，垂足為，連接，則，于是為所求二面角的一個(gè)平面角，

設(shè)，則，，，

∴∴二面角的余弦值為．

考點(diǎn)：1、空間直線與平面的垂直關(guān)系；2、空間向量的應(yīng)用；3、二面角．