Question

如圖，PA⊥平面ABCD，AD//BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝PA＝1，AD＝3，E是PB的中點．

（1）求證：AE⊥平面PBC；

（2）求二面角B－PC－D的余弦值．

 

Answer 1

（1）根據(jù)題意，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，

D(0，3，0)，P(0，0，1)，E(，0，)，

所以AE⊥BC，AE⊥BP．

因為BC，BP平面PBC，且BC∩BP＝B，

所以AE⊥平面PBC．                                   

（2）設(shè)平面PCD的法向量為n＝(x，y，z)，則n·＝0，n·＝0．

因為＝(－1，2，0)，＝(0，3，－1)，所以－x＋2y＝0，3y－z＝0．

令x＝2，則y＝1，z＝3．

所以n＝(2，1，3)是平面PCD的一個法向量．           

因為AE⊥平面PBC，所以是平面PBC的法向量．

根據(jù)圖形可知，二面角B－PC－D的余弦值為－．